圖1、圖2為《勾股容圓》紀(jì)念封。(圖片由中國集郵有限公司提供)
圖3、圖4、圖5、圖6分別為《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《測圓海鏡》《則古昔齋算學(xué)》的書影。(圖片由作者提供)
據(jù)漢代《周髀算經(jīng)》記載,昔者周公問算于商高,商高對曰:“勾廣三,股修四,徑隅五?!敝芄澰唬骸按笤昭詳?shù)?!?/span>
古人以“勾三股四弦五”為上聯(lián),有對仗下聯(lián)“六詩七絕八古”者,也有巧對“碧草玉蘭修竹”者,又何其美哉言數(shù)也!
漢代《九章算術(shù)》勾股章第16題“今有勾八步,股十五步。問勾中容圓,徑幾何?”
該題“術(shù)文”為“八步為勾,十五步為股,為之求弦。三位并之為法,以勾乘股,倍之為實(shí)。實(shí)如法,得徑一步?!比患垂?、股、弦,若分別以a、b、c表示,則此圓徑d=2ab/a+b+c。
此開勾股容圓問題研究之先河。勾股容圓是通過勾股形(今稱直角三角形)和圓的各種相切關(guān)系求圓直徑的問題,這是中國數(shù)學(xué)史上的一個重要問題。
魏晉時期的劉徽用出入相補(bǔ)原理和率的理論(借助衰分術(shù))兩種方法證明了這個公式。
宋金時期,洞淵在此基礎(chǔ)上研究了同一個圓和各種勾股形的相切關(guān)系,給出了由勾股形的三邊求圓徑的9個公式,稱為“洞淵九容”。洞淵是道教的派別,通“九數(shù)”,活躍于唐宋。
元代李冶由洞淵九容演繹成《測圓海鏡》,不僅保留了洞淵九容公式,即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法,而且給出一批新的求圓徑公式。
卷一“圓城圖式”:“假令有圓城一所,不知周徑。四面開門,門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭,定為乾地;其東北十字道頭,定為艮地;其東南十字道頭,定巽地;其西南十字道頭,定為坤地。所有測望雜法,一一設(shè)問如后。”此為《測圓海鏡》170問的總題設(shè):今正方形乾坤巽艮容一圓,圓與15個勾股形的各種關(guān)系,由此展開。
這是全書的總括圖解,由一個直角三角形、它的內(nèi)切圓以及一些特定的點(diǎn)和直線組成。其中的頂點(diǎn)、圓心和交點(diǎn)都用某個漢字來指代,相當(dāng)于西方用字母,有異曲同工之妙,是為李冶的創(chuàng)造。
卷一“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系,共600余條,每條可看作一個定理(或公式),這部分內(nèi)容是對中國古代關(guān)于勾股容圓問題的總結(jié)。
后面各卷的習(xí)題,都可以在“識別雜記”的基礎(chǔ)上以天元術(shù)(解方程)為工具推導(dǎo)出來。李冶總結(jié)出一套簡明實(shí)用的天元術(shù)程序,并給出化分式方程為整式方程的方法。他發(fā)明了負(fù)號和一套先進(jìn)的小數(shù)記法,采用了從零到九的完整數(shù)碼。除零以外的數(shù)碼古已有之,是籌式的反映。但籌式中遇零空位,沒有符號“0”。從現(xiàn)存古算書來看,李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書九章》是較早使用0的兩本書,它們成書的時間相差不過一年?!稖y圓海鏡》重在列方程,對方程的解法涉及不多。但書中用天元術(shù)導(dǎo)出許多高次方程(最高為6次),給出的根全部準(zhǔn)確無誤,可見李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的。
總之,李冶在勾股容圓術(shù)中有專門的概念和公式,采用了演繹推理的方法,這在中國數(shù)學(xué)思想發(fā)展史中占有重要的地位。
中國宋元時期,研究測圓術(shù)的數(shù)學(xué)家不在少數(shù)。比如朱世杰的《四元玉鑒》中有“勾股測望”門,其中就有這方面的題目。比如有一題是這樣的:“今有圓城,不知大小,各中開門。甲、乙俱從城心而出,甲出南門一十五步而立;乙出東門四十步見甲。問城周幾何?”
后世學(xué)者對《測圓海鏡》給予高度的評價。清代阮元認(rèn)為《測圓海鏡》是“中土數(shù)學(xué)之寶書”;《則古昔齋算學(xué)》的作者李善蘭稱贊它是“中華算書實(shí)無有勝于此者”,又補(bǔ)充了3種容圓關(guān)系:勾弦上容圓,股弦上容圓,弦外容圓。
(作者系國家教育咨詢委員會委員,中國科技館原館長、研究員)
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